Cumple 164 de Georg Cantor

Tal y como demostró el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, existen varias clases de infinitos, y unos son mayores que otros!

Tomemos, por ejemplo, a los así llamados números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente.
Estos números son ilimitados, de modo que el grupo, o conjunto, de todos los números naturales es infinito.
¿Pero cómo de infinito?
Cantor empleó un argumento elegante para demostrar que los naturales, aunque infinitamente numerosos, son en realidad menos numerosos que otra familia común de números, los "reales". (Este conjunto comprende a todos los números que pueden representarse como un decimal, incluso si la representación de ese decimal es infinitamente larga. Por ello, el 27 es un número real, lo mismo que π, o 3.14159…).

De hecho, Cantor demostró que existen más números reales entre el cero y el uno que el rango completo de los números naturales. Logró hacerlo mediante una contradicción lógica – o reducción al absurdo: asumió que estos conjuntos infinitos tenían el mismo tamaño, y luego realizó una serie de pasos lógicos para encontrar un defecto en esta suposición.
Razonó que si los naturales y su subconjunto de reales del cero al uno, tuviesen un número igual e infinito de miembros, podría establecerse entre ambos conjuntos una relación de uno a uno. Es decir, que los dos conjuntos se podrían emparejar de modo que cada elemento de un conjunto tendría un – y solamente un – "socio" en el otro conjunto.

Pensad en ello de este modo: incluso en ausencia de un conteo numérico, las correspondencias numéricas de uno a uno pueden emplearse para medir los tamaños relativos. Imaginaos dos cajas, una con manzanas y otra con naranjas. Extrayendo una manzana y una naranja simultáneamente a cada movimiento, si los contenidos de ambas se acaban a la vez, el número de frutas en cada caja es igual; si las frutas de una caja se acaban antes, significa que en la otra caja el número de frutas es mayor.

Por esto, Cantor asumió que los naturales y los reales entre el uno el cero estaban en esta clase de correspondencia. Cada número natural n, tenía por tanto un socio real rn. Luego los reales podían listarse en el orden de su correspondiente natural: r1, r2, r3 y así sucesivamente.

Después Cantor comenzó a mostrar su lado astuto. Creó un número real, llamado p, mediante la siguiente regla: hágase un número ubicado n puestos detrás del punto decimal en p, tal que sea distinto al número en esa misma posición decimal en rn. Un simple método binario sería: elíjase 0 cuando el dígito en cuestión es 1; de otro modo elíjase el 1.

Por razones de demostración, digamos que el número real (r1) emparejado al número natural 1 es la componente decimal de π (0,14159…), el (r2) emparejado al 2 es la parte decimal del porcentaje de votos recibida por Bush en el 2000 (0.47868…), y el (r3) asociado al 3 es el famoso porcentaje de 400 bateos conseguido por Ted Williams desde 1941 (0.40570…).

Ahora vamos a crear el p siguiendo la regla de construcción de Cantor: el número de la primera posición decimal no debería ser igual al existente en la primera posición decimal de r1, que es 1. De este modo elegimos el 0, y p comienza así 0,0… Luego elegimos el número en la segunda posición decimal de p, que no podrá ser igual al de la segunda posición decimal de r2, que es 7 (elegimos el 1 y p = 0,01…). Finalmente, elegimos el dígito en tercer posición decimal de p de modo que no sea igual a la correspondiente posición decimal de r3, que es 5 (elegimos de nuevo 1; p= 0,011…)

Continuando hacia abajo con la lista, este método matemático (llamado "diagonalización") genera un número p entre cero y uno, que por su construcción difiere de todos y cada uno de los números reales de la lista en, al menos, una posición decimal. Ergo, no puede pertenecer a la lista.

En otras palabras, p es un número real sin un socio natural – una manzana sin su naranja. Por ello, la correspondencia uno a uno entre los reales y los naturales falla, ya que simplemente hay demasiados reales – "son incontablemente" más numerosos – lo cual hace de algún modo que el infinito de los reales sea mayor que el infinito de los naturales.

"La idea de que algo pudiera ser 'más grande que el infinito' supuso realmente un logro", comenta Stanley Burris, profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Waterloo en Ontario. "Teníamos el principio aritmético, pero a nadie se le había ocurrido hacer una clasificación interna del infinito; antes de eso simplemente pensábamos en él como un único objeto".

El matemático Joseph Mileti, del Darmouth College añade:
"Cuando oí hablar por primera vez acerca de este resultado y finalmente pude verlo, definitivamente fue algo que golpeó mis sentidos. Es uno de esos resultados cortos, dulces, y realmente sorprendentes".

Traducido de Strange but True: Infinity Comes in Different Sizes (Scientific American).

Más información sobre la demostración de Cantor por diagonalización aquí.